Imaginez un monde sans chiffres, sans mesures, sans formes précises. Impensable, n’est-ce pas ? Les mathématiques sont bien plus que des calculs abstraits ; elles sont le langage même qui nous permet de comprendre et de décrire l’univers. Des étoiles aux battements de notre cœur, tout suit des logiques mathématiques. Mais pour décrypter ce langage, il faut en connaître les mots. Ce dictionnaire mathématique est votre guide pour découvrir les 60 termes essentiels qui vous ouvriront les portes de cette fascinante discipline, du plus simple au plus complexe, comme un voyage à travers les âges des découvertes.

Histoire des mathématiques. L’invention des nombres

Imaginez un instant l’aube de l’humanité. Nos ancêtres, bien avant les villes et l’écriture, ont ressenti un besoin fondamental : celui de compter. Combien de bêtes dans le troupeau ? Combien de jours avant la prochaine pleine lune ? C’est de cette nécessité simple et universelle qu’est née la première brique de l’histoire des mathématiques : le Nombre.

C’est quoi un nombre ?

Au début, un nombre était peut-être juste un caillou dans la main, une encoche sur un bâton. Mais rapidement, il a fallu formaliser cela. Un nombre est un concept qui représente une quantité. Il existe toute une famille de nombres, chacun ayant son utilité propre et ayant été découvert ou formalisé à mesure que les besoins de l’humanité grandissaient.

Différence entre chiffre et nombre.

Les chiffres et les nombres font partie des premiers termes à mettre dans le dictionnaire mathématique. En effet, pour écrire ces nombres, nous utilisons des symboles appelés chiffres. Dans notre système décimal, nous en avons dix, de 0 à 9, qui nous permettent de construire n’importe quel nombre.

Les nombres entiers (1, 2, 3…) sont les plus intuitifs. Puis, avec l’idée de partager, sont apparus les nombres rationnels (comme 1/2 ou 3/4), qui peuvent être exprimés comme une fraction.

Définition d’une fraction

Une fraction selon ce dictionnaire mathématique, c’est une division où le numérateur indique combien de parts on a, et le dénominateurindique en combien de parts le tout est divisé. Pour faciliter les comparaisons, on a inventé le pourcentage, une fraction particulière dont le dénominateur est toujours 100.

Les nombres irrationnels réels et complexes

Mais que faire si l’on ne peut pas exprimer un nombre comme une fraction exacte ? C’est là que sont apparus les nombres irrationnels, comme π ou la racine carrée de 2. Ils possèdent une infinité de décimales sans jamais se répéter. 

En regroupant les rationnels et les irrationnels, on obtient les nombres réels, ceux que nous utilisons majoritairement au quotidien. Et quand les mathématiciens ont eu besoin de résoudre des équations encore plus complexes, ils ont franchi une nouvelle étape avec les nombres complexes, qui incluent des racines carrées de nombres négatifs – une véritable révolution !

Les nombres premiers dans le dictionnaire mathématique

Enfin, une catégorie spéciale et fascinante est celle des nombres premiers (2, 3, 5, 7…), ces entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, les briques fondamentales de tous les autres nombres entiers.

Les opérations mathématiques

Une fois que nous avons des nombres, il faut pouvoir les manipuler. C’est là qu’entrent en jeu les opérations de base : l’addition pour combiner des quantités, la soustraction pour en retirer, la multiplication pour ajouter une même quantité plusieurs fois, le produit est le résultat d’une multiplication, et la division pour partager une quantité en parts égales.

Définition simple de puissance exponentielle et logarithme

Puis, l’humanité a voulu représenter des croissances rapides, des phénomènes qui augmentent à une vitesse fulgurante. Pour cela, la notion de puissance a été inventée. Plutôt que d’écrire 2×2×2, on écrit 2³, ce qui est bien plus concis ! 

Ensuite, de cette idée de puissance est née la notion d’exponentielle, une fonction qui décrit une croissance fulgurante, comme celle des populations ou des intérêts composés.

Et pour « remonter le temps », c’est-à-dire trouver la puissance à laquelle une base doit être élevée pour obtenir un certain nombre, on utilise le logarithme, qui est en quelque sorte l’opération inverse de l’exponentielle.

Ces fondations, posées il y a des millénaires, sont les piliers sur lesquels repose toute la suite de l’aventure mathématique. Elles nous permettent de compter, de mesurer et de manipuler les quantités qui nous entourent.

L’Algèbre dans le dictionnaire mathématique

Après avoir maîtrisé les nombres et les opérations, les mathématiciens ont vite fait face à de nouvelles questions. Que se passe-t-il si l’on connaît le résultat d’un calcul, mais qu’une partie de l’information est manquante ? C’est comme vouloir savoir quel était le nombre initial d’animaux dans un troupeau après que certains aient été vendus et d’autres soient nés. Pour répondre à ces énigmes, un nouveau langage, plus abstrait et puissant, a vu le jour : l’algèbre.

Différences entre variable, inconnue et constante

L’algèbre nous a offert le concept de variable. Imaginez une boîte vide où l’on pourrait glisser n’importe quel nombre. C’est ça, une variable : une quantité qui peut prendre différentes valeurs, souvent représentée par une lettre comme x ou y.

À l’opposé, une constante est une valeur qui ne change jamais, comme le chiffre 5 ou π. Lorsque l’on cherche la valeur d’une variable dans un problème, on l’appelle l’inconnue.

Expression algébrique – équation et système d’équations

Ces variables et constantes, combinées avec les opérations, nous permettent de former des « phrases mathématiques » appelées expressions algébriques. 

Par exemple, 2x+5 est une expression algébrique.

Quand on met deux expressions égales entre elles, on crée une équation : selon le dictionnaire mathématique, une équation est comme un puzzle qu’il faut résoudre. Et résoudre une équation revient à trouver l’inconnue (ou les inconnues) qui rendent l’égalité vraie. 

Si vous avez plusieurs de ces puzzles liés entre eux, vous avez un système d’équations, où vous devez trouver des valeurs qui satisfont toutes les équations simultanément.

Factoriser ou développer une expression algébrique

Pour manipuler ces expressions et résoudre des équations, deux techniques sont devenues essentielles : la factorisation et le développement. Le développement consiste à transformer un produit en une somme, par exemple, 3(x+2) devient 3x+6. La factorisation, c’est l’inverse : transformer une somme en un produit, par exemple, passer de 3x+6 à 3(x+2). Ces outils sont cruciaux pour simplifier des problèmes complexes.

Notion de fonction dans le dictionnaire mathématique.

Mais l’une des avancées les plus révolutionnaires de l’algèbre est la notion de fonction. Une fonction, c’est comme une « machine » mathématique. Vous lui donnez une entrée un nombre, par exemple, (la variable x), et elle vous renvoie une sortie unique selon une règle bien définie. Par exemple, la fonction f(x)=x² prend un nombre et le met au carré. Les fonctions sont le cœur de l’algèbre et de l’analyse, permettant de modéliser des relations et des phénomènes complexes. 

Les polynômes

Un type de fonction très courant et polyvalent est la fonction polynôme, qui est une somme de termes où les variables sont élevées à des puissances entières non négatives (comme : 3x²+2x−1. C’est un polynôme de degré 2 car la puissance la plus élevée est 2).

La fonction dérivée et l’intégrale et limites. 

Avec le temps, le besoin de comprendre non plus seulement les quantités, mais aussi leur changement et leur vitesse de variation, a conduit à des outils encore plus sophistiqués.

La dérivée nous permet de mesurer la vitesse instantanée de changement d’une fonction, c’est la « pente » d’une courbe à un point donné. C’est fondamental pour comprendre le mouvement, l’optimisation ou la croissance.

L’intégrale, quant à elle, est son inverse. Elle nous permet de calculer l’accumulation de quelque chose sur une période, comme l’aire sous une courbe ou le volume d’un solide. Ces deux concepts sont intrinsèquement liés par le théorème fondamental de l’analyse.

Pour comprendre ces notions de changement et d’accumulation, il faut d’abord maîtriser le concept de limite : qu’arrive-t-il à une fonction lorsque sa variable s’approche infiniment près d’une certaine valeur ?

Matrices et vecteurs

Enfin, avec l’ère de l’informatique et des données massives, de nouvelles structures sont devenues indispensables. Dans le dictionnaire mathématique, une matrice est une grille rectangulaire de nombres, utilisée pour organiser et manipuler de grandes quantités de données ou pour résoudre des systèmes d’équations complexes.

Tandis qu’un vecteur, lui, est une quantité qui possède à la fois une magnitude (une taille) et une direction. Les vecteurs sont essentiels pour décrire des forces, des déplacements ou des mouvements dans l’espace. 

Toutes ces idées, de la variable à la matrice, relèvent de l’algèbre, une branche des mathématiques qui manipule des symboles et des règles pour résoudre des problèmes et modéliser le monde.

Géométrie, Formes et Espace

Pendant que certains esprits brillants manipulaient les symboles abstraits de l’algèbre, d’autres se penchaient sur le monde tangible qui les entourait. 

Comment construire des structures solides, des temples imposants ou des cartes précises ? 

Comment comprendre les étoiles et leurs trajectoires ? 

C’est de ces questions concrètes qu’est née la géométrie, la branche des mathématiques dédiée aux formes, aux tailles, aux positions des objets et aux propriétés de l’espace.

Définitions de point, droite et angle dans le dictionnaire mathématique. 

Tout en géométrie commence par des éléments fondamentaux. Le point est la brique de base : une position exacte dans l’espace, sans aucune dimension, comme un pixel minuscule sur un écran ou l’intersection de deux lignes. 

En reliant une infinité de points, on obtient une droite, une ligne parfaite s’étendant à l’infini dans les deux directions. 

Et lorsque deux droites ou segments de droite se rencontrent, elles forment un angle, mesurant l’ouverture entre elles.

Le périmètre l’aire et le volume

Avec ces éléments, nous pouvons commencer à décrire et à mesurer le monde.

Selon le dictionnaire mathématique, le périmètre est la longueur du contour d’une figure bidimensionnelle, comme la clôture autour d’un jardin. 

L’aire est la mesure de la surface couverte par cette figure, combien de gazon il faut pour remplir ce jardin. 

Et pour les objets en trois dimensions, nous avons le volume, qui mesure l’espace qu’ils occupent, comme la quantité d’eau qui peut remplir une piscine.

Le triangle

Parmi toutes les formes, le triangle occupe une place d’honneur. C’est la figure la plus simple et la plus stable, fondamentale en architecture et en ingénierie. Ses propriétés ont été étudiées depuis l’Antiquité, notamment à travers des découvertes cruciales.

Définition d’axiome et théorème dans le dictionnaire mathématique. 

Pour organiser et prouver les vérités en géométrie, les mathématiciens ont développé un système rigoureux. Un axiome est une affirmation que l’on accepte comme vraie sans démonstration, une vérité évidente ou un point de départ. À partir de ces axiomes, on peut prouver des théorèmes, qui sont des propositions mathématiques qui ont été démontrées comme étant vraies. Le plus célèbre d’entre eux est sans doute le théorème de Pythagore, qui décrit la relation entre les côtés d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (a²+b²=c²). Ce théorème est un pilier de la géométrie et a des applications innombrables.

Les relations de symétrie. 

La géométrie nous permet également de comprendre les relations spatiales. 

En mathématiques, la symétrie est la correspondance parfaite et équilibrée entre les parties d’une figure ou d’un objet. Cela signifie qu’une figure est symétrique si elle reste identique après avoir subi une certaine transformation.

Il existe plusieurs types de symétrie, les plus courants étant :

• Symétrie axiale (ou par réflexion) : Imaginez un miroir. Si une figure est symétrique par rapport à un axe (une ligne), cela signifie que si vous la pliez le long de cet axe, les deux moitiés se superposent parfaitement. C’est comme le reflet d’une image.
  • Exemple : Un cœur a un axe de symétrie vertical.
• Symétrie centrale (ou ponctuelle) : Une figure a une symétrie centrale si elle reste identique après avoir subi un demi-tour (une rotation de 180 degrés) autour d’un point central.
  • Exemple : La lettre « N » possède un centre de symétrie.

En bref, la symétrie traduit une sorte d’équilibre ou de répétition d’une forme.

Droite parallèle et perpendiculaire

Deux droites sont dites parallèles si elles ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l’infini, comme les rails d’un train. 

Et à l’inverse, deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit parfait (90 degrés).

La trigonométrie

Enfin, pour aller plus loin dans la mesure des angles et des longueurs dans les triangles, un outil puissant a été développé : la trigonométrie. C’est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles. Grâce à elle, nous pouvons calculer des distances inaccessibles (comme la hauteur d’une montagne) ou comprendre les ondes et les cycles.

La géométrie ne se contente pas de nous aider à construire des bâtiments ; elle nous offre une vision du monde en trois dimensions, nous permettant de naviguer, de concevoir et d’apprécier la beauté des formes qui nous entourent.

Prévoir et Analyser des Données statistiques et probabilité

Dans notre monde moderne, nous sommes inondés d’informations. Des sondages d’opinion aux prévisions météorologiques, en passant par les résultats sportifs et les données économiques, tout est mesuré et collecté. Pour donner du sens à cette masse de chiffres, pour comprendre le hasard et même anticiper l’avenir, les mathématiques ont développé deux branches essentielles : la probabilité et la statistique.

Probabilité 

La probabilité est la science de l’incertitude. Elle mesure la chance qu’un événement se produise. C’est elle qui nous dit qu’il y a une chance sur deux d’obtenir « pile » en lançant une pièce, ou qui estime le risque de pluie demain. Comprendre la probabilité nous aide à prendre des décisions éclairées face à l’incertitude, que ce soit pour des jeux de société ou des investissements financiers.

La statistique

La statistique, quant à elle, est l’art de collecter, d’organiser, d’analyser, d’interpréter et de présenter des données. Si la probabilité prédit ce qui pourrait se passer, la statistique analyse ce qui s’est passé pour en tirer des conclusions. Quand vous entendez parler de « chiffres clés », c’est souvent la statistique qui est à l’œuvre.

Les indicateurs statistiques

Pour résumer de grandes quantités de données et en extraire des informations pertinentes, la statistique utilise plusieurs indicateurs statistiques.

• La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre ; c’est le « milieu » arithmétique. 
  • La médiane est la valeur centrale d’un ensemble de données triées : la moitié des données sont en dessous, l’autre moitié au-dessus. 
  • L’écart-type mesure à quel point les données sont dispersées autour de la moyenne ; un petit écart-type indique des données très groupées. 
  • La fréquence indique combien de fois un événement ou une valeur apparaît dans un ensemble de données.

Les graphiques en statistique

Pour rendre ces informations visibles et plus faciles à comprendre, on utilise des graphiques. Un histogramme, par exemple, est un type de graphique qui utilise des barres pour montrer la distribution d’une variable numérique, très utile pour voir des tendances ou des regroupements dans les données. 

Les représentations graphiques en général transforment des tableaux de chiffres en images parlantes.

La proportionnalité

Enfin, derrière toute cette analyse de données et ces calculs, on trouve des principes fondamentaux qui nous permettent de raisonner et d’automatiser des tâches. La proportionnalité est une relation simple où deux quantités varient de la même manière : si l’une double, l’autre double aussi. C’est essentiel pour les recettes de cuisine, les cartes à échelle ou les calculs de prix. 

Définition d’un algorithme

L’algorithme est une suite d’instructions précises et finies pour résoudre un problème ou effectuer une tâche. Que ce soit un algorithme de tri ou celui qui fait fonctionner votre moteur de recherche, ils sont partout. 

Et le fondement de tout raisonnement mathématique, la base de toute preuve et de toute construction logique, est la logique elle-même, qui établit les règles du raisonnement valide.

Ces branches des mathématiques nous aident à décrypter le monde qui nous entoure, à transformer le chaos des informations en connaissances utiles et à prendre des décisions plus intelligentes, qu’il s’agisse de planifier l’avenir ou de comprendre le passé.

Les termes essentiels de Mathématiques. 

Vous venez de parcourir un voyage fascinant à travers 60 termes essentiels dans le dictionnaire mathématique, chacun étant une clé pour déverrouiller un aspect de l’univers mathématique. Nous avons commencé par les fondations : les nombres et les opérations qui nous permettent de compter et de manipuler les quantités. Puis, nous nous sommes aventurés dans le monde abstrait de l’algèbre, où les variables et les fonctions nous aident à résoudre des énigmes complexes et à comprendre les relations dynamiques. Ensuite, la géométrie nous a ouvert les yeux sur les formes, les dimensions et les propriétés de l’espace qui nous entoure, des points aux théorèmes les plus élégants. Enfin, la probabilité et la statistique nous ont fourni les outils pour naviguer dans l’incertitude et donner du sens aux vastes océans de données de notre époque.

Les maths sont partout

Des chiffres gravés sur des os préhistoriques aux algorithmes qui animent l’intelligence artificielle, les mathématiques sont bien plus qu’une simple matière scolaire. Elles sont le langage universel qui sous-tend la science, la technologie, l’ingénierie et même l’art. Chaque terme de ce dictionnaire est une pièce d’un immense puzzle qui, une fois assemblé, révèle la logique et la beauté intrinsèques de notre monde.

Comprendre ces termes n’est pas seulement utile pour réussir un examen ; c’est une façon de développer une pensée critique, de résoudre des problèmes avec ingéniosité et de mieux décrypter l’information qui nous entoure au quotidien. Alors, que ce dictionnaire soit un point de départ pour votre propre exploration. Les mathématiques sont une aventure sans fin, pleine de découvertes et de merveilles. Continuez d’explorer, de questionner et d’apprendre, car le monde des nombres n’attend que vous pour révéler ses prochains secrets !

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