Avant d’entrer dans le vif du sujet et voir comment peut-on gagner dans un jeux de hasard en utilisant un simple cours de probabilité, commençons d’abord par donner quelques vocabulaires de probabilité.

• La probabilité est la grandeur par laquelle on évalue le nombre de chances qu’a un évènement de se produire. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• Un événement est une partie de l’ensemble des résultats, il peut être probable ou non. Par exemple: « obtenir un chiffre paire » lors d’un lancer de dé…
• Un évènement impossible a une probabilité de 0
• Et un évènement certain a une probabilité de 1. 
• Plus la probabilité est grande plus l’évènement a de chances de se produire.

Alors comment peut on utiliser le cours de probabilité pour prédire les chances de perdre ou de gagner dans un jeu de hasard.

Exercice et cours de probabilité

Imaginez vous entrain de vous balader dans une fête foraine. vous passez d’un jeu d’attraction à un autre, des stands de tir, des vendeurs de friandises, de chorus, des beignets, …

Et d’un coup vous vous arrêtez à un stand de jeu de hasard. Ce jeu attire toute votre attention, de première vue vous pensez que vous serez gagnant à tous les coups. La règle de jeu est toute simple, elle est inscrite sur une grande affiche collée au stand. Il suffit de lancer deux dés simultanément, puis de faire la somme des faces supérieures des dés. Et enfin en fonction du résultat obtenu vous empochez un gain allant de 1 euro à 20 euros.

Les jeux de hasard attractifs

De première vue le jeu paraît simple et sympathique, et il est vrai qu’on y gagne à tous les coups. Les cases où on peut gagner des billets de 20 euros ou de 5 euros sont plus nombreuses que celle de 1 euro. Et comme le prix de la partie est de seulement 5 euros vous vous décidez de tenter votre chance.

Alors vus jouez une première fois et vous obtenez un 10. Vous vous dites que c’est bien mais vous pourrez faire mieux. Vous jouez une deuxième fois et vous obtenez un 7. Une troisième fois vous obtenez 6, puis un 9…

Vous commencez à avoir des doutes, vous vous demandez si le jeu n’est pas truqué. Vous vérifiez les dés et vous trouvez bien les 6 chiffres et rien sur la table de jeu qui pourrait influencer les dés. Bref tout est correct.

Vocabulaire et cours de probabilité

Si le jeu n’est pas truqué, alors on peut se poser la question suivante: est ce que la table de ce jeu est construite de manière aléatoire?

Évènements équiprobables 

Pour répondre à cette question, il faut d’abord comprendre ce que c’est que L’équiprobabilité. qu’est ce qu’on entend par événements équiprobables.

Alors des événements sont équiprobables s’ils ont tous la même chance (probabilité) de se réaliser. Par exemple: Lors d’un lancer d’une pièce de money, il y a autant de chance que la pièce tombe sur pile que sur face. Donc, si on appelle E1 l’événement « obtenir pile », et E2 l’événement « obtenir face ». Les événements E1 et E2 sont équiprobablescar ils ont la même probabilité de se réaliser.

Calcul de probabilité

Alors, si on revient à notre jeu de hasard, sommes nous devons un problème d’équiprobabilité? en d’autres termes: L’événement « faire un 2 » en lançant 2 dés, a-t-il la même probabilité que l’événement « faire un 3 », ou « faire un 4 », …

Pour calculer la probabilité d’un événement, on divise le nombre de cas favorable à cet événement par le nombre total des cas

Arbre de probabilité

Alors les questions que l’on doit se poser maintenant sont:

• Quel est le nombre de cas favorable?
• Et quel est le nombre de cas total?

Pour répondre à ces deux questions on peut se faire aider par un tableau de probabilité ou un arbre de probabilité. Et pour le construire, il suffit de dénombrer l’ensemble des cas possibles de l’expérience aléatoire.

Dans le cas de lancer de 2 dés on peut construire l’arbre de probabilité suivant:

Parmi le vocabulaire de probabilité, on trouve le terme issue. Une issue est simplement un résultat de l’expérience aléatoire. Et comme on peut le voir sur le diagramme de probabilité ci-dessus, pour chaque issue du premier dé, il existe 6 issues possibles du deuxième dé. On peut facilement dénombrer un total de 36 issues possibles. Donc le nombre total de cas est 36.

Tableau des issues

Pour calculer la probabilité d’une issue, il faut compter le nombre de fois favorables de cette issue. Puis diviser ce ombre par le nombre total des issues. Une méthode simple et visuelle qui permet de comprendre les différents issues lors d’un lancer de 2 dés est le tableau des issues ci-dessous:

A partir du tableau ci-dessus, on peut voir que, lors d’un lancer de 2 dés simultanément, il n’y a qu’une seule façon possible d’obtenir un 2 en additionnant les résultats des 2 dés. C’est faire un 1 avec le dé1 et un 1 avec le dé2. Donc il y a une seule issue favorable pour faire un 2.

Tandis que pour faire un 7 il y a 6 façons possibles, donc le nombre d’issues favorables est 6.

Solution exercice de cours probabilité

Maintenant qu’on connait quelques outils qui permettent de compter les nombres d’issues favorables et le nombre d’issues totales, alors le calcul de probabilité devient simple en utilisant la formule donnée précédemment.

• La probabilité d’obtenir un 2 en lançant les 2 dés est: P(2)=1/36≃0,0278≃2,78%
• Et la probabilité d’obtenir un 7 en lançant les 2 dés est: P(7)=6/36≃0,167≃16,7%

Voici un tableau de calcul de probabilité de toutes les issues de ce jeu.

Gain (Euro)	20€	5€	4€	3€	2€	1€	2€	3€	4€	5€	20€
Sommes des deux dés	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nombres d’issues	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Probabilité	2.78%	5.56%	8.33%	11.11%	13.89%	16.67%	13.89%	11.11%	8.33%	5.56%	2.78%

Il y a donc plus de chance de gagner une somme inférieure à 5€ que de gagner 5 ou 20 euros. La table de jeu n’est donc pas positionnée d’une manière aléatoire. Les cases des gains sont positionnées de telle sorte que la probabilité de gagner une somme supérieure au prix de la partie soit la plus petite possible.

Simulation numérique de jeu de hasard

A l’air du numérique, on est tout à fait capable de simuler une situation de jeu pour voir si on peut gagner à ce jeu et comment faut-il s’y prendre. Dans un précédent post j’ai publié des scripts python qui permettent de simuler le hasard. On peut par exemple imaginer que l’on dispose de 100 euros, et voir si le cours de probabilité et les calculs précédents sont bien vérifiés dans cette situation. Ceci fera l’objet d’un prochain article.

Union de deux ou plusieurs événements

Supposons que l’on souhaite savoir la probabilité de gagner une somme supérieure au prix de la partie. Cela revient à calculer la probabilité des événements qui permettent de gagner 20 euros ou 5 euros.

Soit l’événement A suivant : « faire un doublon de 1 ou un doublon de 6 ». Le nombre de cas favorables à cet événement est 2. Et l’ensemble des cas est 36. Alors la probabilité de A est:

P(A) = 2/36 ≃ 5,56%

On peut remarquer que l’événement A est l’union de deux autres événement:

• E2 : « obtenir un 2 »
• Et E12 : « obtenir un 12 »

Cela s’écrit de la manière suivante: A = E2 ∪ E12. On prononce A égale à E2 union E12.

On peut remarquer au passage que P(A) = P(E2) + P(E12).

De la même manière, on peut considérer l’événement B suivant: « Faire un 11 ou un 3 » en lançant les deux dés. En suivant le raisonnement précédent on peut écrire B = E3 ∪ E11.

Et P(B) = P(E3 ∪ E11) = P(E3) + P(E11)≃5,56%+5,56% ≃11,12%

Et enfin, l’événement C : « gagner une somme supérieure ou égale à 5 euros » peut être considéré comme l’union de deux ou plusieurs événements.

C = A ∪ B.

Alors, P(C) = P(A) + P(B) ≃ 5,56% + 11,12% ≃ 16,68%

L’événement contraire

D’après le résultat précédent, il y a 16,68% de chance de gagner ou de récupérer la mise à ce jeu. Soit l’événement suivant: « Gagner une somme inférieure à 5 euros ». Ceci est l’événement contraire à C. On le notera C barre.

La probabilité d’un événement + la probabilité de son contraire = 1

P(C barre) est donc égale à P(C) = 1 – P(C)

Il y a donc 83,32% de risque de perdre à ce jeu.

Intersection de deux événements. Cours de probabilité

Est ce que la probabilité de l’union de deux événement est toujours égale à la somme des probabilités de chaque événement?

Pour répondre à cette question, prenant l’exemple suivant:

Lors d’un lancer d’un dé à 6 faces,

• quelle est la probabilité de l’événement X : « Obtenir un chiffre paire »?
• quelle est la probabilité de l’événement Y : « Obtenir un chiffre inférieure à 4 »
• et quelle est la probabilité de l’événement Z : « Obtenir un chiffre paire ou inférieure à 4 »

Voici un schéma qui permet de visualiser les différents événements:

D’après le cours de probabilité et le schéma ci-dessus, on peut calculer les probabilités suivantes:

• P(X) = 3/6 = 0,5 = 50%
• P(Y) = 3/6 = 0,5 = 50%

L’événement Z est l’union de l’événement X et l’événement Y.

Z = X ∪ Y

Si on applique la relation utilisée au paragraphe précédent à savoir P(Z) = P(X) + P(Y) on trouve une probabilité égale à 1. Ce qu’il voudrait dire que Z est un événement certain alors que ce n’est pas le cas. Le chiffre 5 ne fait pas partie des issues de l’événement Z.

En fait si on analyse bien le schéma des événements, on remarque que 2 appartient à la fois à l’événement X et à l’événement Y. Il a été donc compté deux fois dans la relation, il faudra alors le soustraire de la relation.

2 est donc le résultat de l’intersection de X et Y. On note X ∩ Y = {2}. Cela se prononce X inter Y égale à l’ensemble 2.

Et enfin: P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y) – P(X ∩ Y)