Comment comprendre facilement le théorème de Pythagore et de sa réciproque

Le théorème de Pythagore est le plus célèbre de tous les théorèmes de mathématiques, et peut être le plus simple de tous. Ce théorème s’applique exclusivement aux triangles rectangles, il permet tout simplement de donner la mesure d’un des côtés d’un triangle rectangle en connaissant les mesures des deux autres côtés. Dans cet article j’explique comment démonter facilement la relation de Pythagore et de sa réciproque, il y a aussi un programme python qui permet de donner une liste de triplets pythagoriciens.

Si vous ne connaissez pas python ou débutant dans la programmation Je vous conseille cet article de Python pour débutant

Énoncé du théorème de Pythagore

Voici l’énoncé du théorème de Pythagore : 

«Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés».

Pythagore
Théorème Pythagore

Pour rappel :

  • L’hypoténuse est le côté le plus long du triangle, il est opposé à l’angle droit
  • Les deux autres côtés sont adjacents à l’angle droit
  • Le carré d’un nombre c’est quand on multiplie ce nombre par lui même

La réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque d’un théorème est l’inverse de celui-ci. Le théorème de Pythagore dit que si nous avons un triangle rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés. La réciproque du théorème de Pythagore peut être formulée de la manière suivante :

«si dans un triangle, le carré d’un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle

Réciproque de Pythagore version 1

Et à l’inverse, …

Si dans un triangle, le carré de l’hypoténuse est différent de la somme des carrés des deux côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.

Réciproque de Pythagore version 2

Triplet Pythagoricien

Un triplet de Pythagore, ou triplet Pythagoricien c’est tout simplement trois nombre entiers naturels qui respectent la relation de Pythagore. C’est à dire que le carré d’un des trois nombres et égal à la somme des carrés des deux autres nombres. Le triplet Pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5).

Il existe d’autres noms pour ces triplets, on parle aussi de triade Pythagorique, ou triangle Pythagorique solution de l‘équation de Pythagore. Voici la liste des 10 premiers triplets de Pythagore:

  • (3, 4, 5), 
  • (6, 8, 10), 
  • (5, 12, 13), 
  • (9, 12, 15), 
  • (8, 15, 17), 
  • (12, 16, 20), 
  • (7, 24, 25), 
  • (10, 24, 26), 
  • (20, 21, 29), 
  • (18, 24, 30)

Programme python pour les triplets de Pythagore

Et voici un programme python qui permet de lister les triplets de Pythagore:

Tp = []
c = 3
TpMax = 10
while len(Tp) < TpMax:
    a = 1
    while a < c :
        b = 2
        while b < c:
            if c**2 == (a**2 + b**2):
                Tp += [(a, b, c)]
                break
            b = b+1
        if c**2 == (a**2 + b**2):
            break
        a = a+1
    c = c + 1
print(" les ",str(TpMax), " premiers triplet de Pythagore sont :")
print(Tp)

Tel qu’il est, ce programme donne les 10 premiers triplets, mais il est facilement modifiable pour chercher les 100, 200, 1000, … premiers triplets. Pour ce faire il suffit de changer le paramètre TpMax.

Démonstration du théorème de Pythagore

Plusieurs personnes se sont intéressées à la démonstration du théorème de Pythagore, et par conséquent il existe plusieurs démonstrations à ce théorème. La démonstration qui m’a fasciné, et que personnellement je trouve magnifique, est celle qui consiste à verser le contenu liquide de deux carrés dans un carré plus grand. Bien sûr on fait en sorte que les côtés des trois carrés soient un triplet qui respecte la relation de Pythagore. (3, 4, 5) par exemple.

Il y a une vidéo sur youtube qui montre cette expérience : https://www.youtube.com/watch?v=3SlqdCRoTas

Une image contenant carré

Démonstration du théorème de Pythagore par des carrés
Démonstration théorème de Pythagore

Les deux carrés de côtés respectifs 3 et 4, communiquent avec le grand carré de côté 5 via des petits orifices pour laisser passer le liquide. Au bout d’un certain temps, on remarque que les deux petits carrés se sont vidés entièrement, et le grand carré s’est rempli complètement. On peut déduire que l‘aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux petits carrés. Or la surface d’un carré se calcule en multipliant le côté par lui-même. Dans l’exemple de la figure ci-dessus, on trouve :

32 + 42 = 9 + 16 = 25. Et d’autre part. 52 = 25

Il existe d’autres démonstrations plus simples à réaliser. Comme par exemple faire des pièces de puzzle de forme carrée de côté égale à 1. Voici un schéma explicatif :

Démonstration par découpage en puzzle

En découpant les pièces du puzzle sous des formes bien spécifique, on peut créer des jeux ludiques qui attirent l’attention. On peut réfléchir sur des formes de plus en plus compliquées pour créer des jeux de niveaux différents.

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2 commentaire

  1. J’ai adoré cet article ! Je ne sais pas pourquoi, mais le Théorème de Pythagore a été mon pire cauchemar au cours de mes années collège. Et je ne parle pas du Triplet Pythagoricien. Finalement, j’ai fini par apprendre à l’apprécier lorsque j’ai commencé à m’intéresser à l’histoire de l’Égypte Antique. Merci !

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