Les suites numériques

En mathématiques, les suites sont comme les fonctions, à l’exception que les suites sont indexées par des nombres entiers alors que les fonctions peuvent être calculer pour tout nombre. Une suite numérique est composée d’une série d’éléments qui sont liés entre eux. Le premier élément permet de calculer le deuxième, puis le deuxième permet de calculer le troisième et ainsi de suite. 

On distingue deux grandes familles de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Les suites arithmétiques

Cas pratique

Considérons un restaurant dont les serveurs sont payés 1300€ net par mois avec une augmentation annuelle de 150€. Un salarié touchera donc 1300 euros la première année de son embauche (année 1), puis 1450 euros l’année suivante (année 2), puis 1600 euros (année 3), … ainsi de suite.

On peut écrire U1 = 1300, (avec U1 = salaire reçu l’embauche)

U2 = U1 + 150 = 1300 + 150 = 1450

U3 = U2 + 150

… Un+1 = Un + 150

Définition 

Une suite arithmétique est une suite de nombres réels telle que chacun de ses termes, autres que le premier, est obtenu en ajoutant au terme qui le précède un même nombre appelé raison.

Si U1 désigne le premier terme et r la raison, on a, pour n entier supérieur ou égal à 1 :

Un+1 = Un + r

n est appelé le rang de l’élément Un. Avec cette expression, pour calculer un élément de la suite, il est nécessaire de connaitre le terme (ou l’élément) qui le précède. Si on veut savoir de combien sera le salaire mensuel du salarié du précédent cas pratique, il faudra calculer tous les termes de la suite jusqu’à 10. Dans certains cas, ce calcul peut devenir trop long et inintéressant.

Pour pallier ce problème, on peut établir une expression entre le premier terme et le terme de rang n

Expression du terme de rang n

Pour une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r, le terme de rang n est donné, pour 

par :

Un = U1 + (n-1)r

Cette expression est facile à démontrer, il suffit de faire apparaitre le premier terme U1 dans le calcul de chaque terme.

Avec cette expression, il est beaucoup plus facile de calculer le 10^ème terme de la suite précédente :

U10 = U1 + (10-1)r = 1300 + 9×150 = 2650

Somme des k premiers termes :

Pour une suite arithmétique, la somme S_k des k premiers termes est donnée par :

Sk = k(U1+Uk) / 2

Les suites géométriques

Et si maintenant on considère un restaurant concurrent, propose un salaire mensuel de 1200 euros net et une augmentation annuelle de 10%.

La première année le salaire sera de 1200

L’année suivante, il sera de 1200×1,10

L’année d’après : 1200×1,1×1,1

Et ainsi de suite…

Comme précédemment, on peut écrire :

U1 = 1200

U2 = U1x1,1

U3 = U2x1,1

…

On constate que chaque nombre est obtenu, à partir du 2^ème en multipliant par 1,1 celui qui le précède.

Définition : 

Une suite géométrique est une suite de nombres réels telle que chacun de ses termes, autres que le premier, est obtenu en multipliant celui qui le précède par un même nombre appelé raison. 

Si U1 désigne le premier terme et q la raison, on a, pour n entier supérieur ou égal à 1: 

Un+1 = Un * q

Si on veut savoir de combien sera le salaire mensuel du salarié du précédent cas pratique, il faudra calculer tous les termes de la suite jusqu’à 10. Dans certains cas, ce calcul peut devenir trop long et inintéressant.

Expression du terme de rang n : 

Pour une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q, le terme de rang n est donné, pour  par :

Un = U1 * q^n-1

Le salaire de la 10^ème année est donc égale à :

U10 = 1200×1,1⁹ = 2830 euros

Somme des k premiers termes

Pour une suite géométrique de premier terme u₁ et de raison q, la somme S_k des k premiers termes est donnée par : 

Sk = U1*(1-q^k) / (1-q)

Exercice

Proposer un programme python qui permet de donner à partir de quel moment, deux salariés embauchés en même temps, mais chacun dans un des deux restaurants, toucheront le même salaire.