10 euros par jour ou 1€ puis 2 puis 4 … Une façon d’introduire la loi exponentielle en classe de terminale est de faire réfléchir les élèves sur une question toute simple. 

Si vos parents vous demandent de choisir entre deux options d’argent de poche :

• 1^ère option : 10 euros par jour jusqu’à la fin du mois
• 2^ème option : 1 euro le premier jour puis doubler le montant de la veille jusqu’à la fin du mois.

Quelle est l’option que vous choisirez ?

Instinctivement, tout le monde, ou presque, préférera la première option. Grosse erreur !

avoir 10 euros tous les jours, c’est un calcul rapide à faire qui permet de savoir rapidement le montant reçu à la fin du mois sans beaucoup d’effort. Pour un mois de 30 jours par exemple, le calcul est rapide, le montant sera de 300€

La fonction linéaire

Le calcul de la première option est simple, il s’agit d’une fonction linéaire dont la représentation graphique est une droite de coefficient directeur égale à 10. On peut facilement tracer cette fonction avec python. Voici le résultat de la représentation graphique de la fonction linéaire 10x :

Sans trop de surprise, au 30^ème jour le montant de l’argent de poche s’élève à 300 euros.

La loi exponentielle

Le calcul de la deuxième option paraît simple de première vue, mais pourrait devenir rapidement long à faire, on se rassure donc à se dire que ce n’est pas la peine d’aller jusqu’au bout. Et le résultat final ne pourra jamais dépasser le montant de la première option. 

Et pourtant ce calcul n’est pas plus dur que le premier, certes il faut une calculatrice pour le faire mais il n’y a qu’une seule opération à faire.

Effectivement, quand on commence à faire le calcul, les montants de l’argent de poche sont plutôt faibles, en effet, au terme du 3^ème jour le montant vaut à peine 8 euros.

Et ils sont plutôt rares ceux qui prendront le temps d’effectuer le calcul de la deuxième option jusqu’au bout.

En fait, doubler chaque jour le montant de la veille, revient à faire l’opération suivante : 

2 x 2 x 2 x 2… multiplication par 2 … 20 fois

Comme illustré sur la figure, l’option 2 progresse en suivant une loi exponentielle, (ou selon une fonction exponentielle)

La différence entre les deux options est mieux visible sous format graphique. Voici un graphique qui montre les deux représentations, la loi linéaire et loi exponentielle côte à côte :

Pour mieux visualiser la différence, j’ai préféré tracer les courbes des deux options seulement pour les sept premiers jours. On voit clairement qu’à partir du 6^ème jour, le montant de l’option 2 (loi exponentielle) dépasse celui de l’option 1 (fonction linéaire). Et au septième jour, la différence entre les deux options est très flagrante.

Voici le graphique pour un mois de trente jours :

Avec l’option 2, au bout de trente jours le montant s’élève à 2³⁰ = 1 073 741 824 € (un milliard soixante-treize million sept cent quarante et un mille huit cent vingt quatre).

Programme python pour tracer la loi exponentielle et linéaire

import matplotlib.pyplot as plt
jour = list(range(1,31,1))
option1 = [10*j for j in jour]
option2 = [2**j for j in jour]

plt.plot(jour,option1, "r", marker="*", ms = 5, mec = 'k')
plt.plot(jour,option2, "b", marker="2", ms = 10, mec = 'm')
plt.xlabel("jour")
plt.ylabel("€uros")
plt.grid(color = 'green', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend(["Option 1", "Option 2"])
plt.show()

La loi exponentielle

La progression étudiée dans l’activité précédente se nomme progression selon la loi exponentielle. Malgré un début timide, elle devient très rapidement importante. Dans cet exemple la base est égale à 2. (ou raison)

Propriétés de la fonction exponentielle

Si la base est supérieur à 1, la fonction est croissante. En revanche, si la base est inférieur à 1 la fonction devient décroissante

Exponentielle de base e et de base 10

Quand la base de la fonction exponentielle est égale à e (à peu près 2.7), la tangente au point de coordonnée (0; 1) a pour pente 1. Cette fonction est particulière je la traiterai dans un article particulier 😉

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle, j’aurai l’occasion de la détailler dans un autre article.

💬 Et vous, connaissiez-vous la différence entre progression linéaire et loi exponentielle ?
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