Méthode facile et performante pour résoudre des problèmes mathématiques

math problems on graph paper with pencil

En mathématiques, on cherche toujours à résoudre des problèmes de la vie courante. Qui n’a jamais entendu parler de la baignoire qu’on cherche en combien de temps doit être remplie d’eau sachant que le débit du robinet et le volume de la baignoire sont des données connues. On a tous cet exemple en tête.

Mon objectif derrière cet article est de démystifier une fois pour toute la résolution de problèmes de premier degré.

Comment résoudre un problème de degré 1?

Avant de vous donner la méthode de résolution, nous allons d’abord définir de quoi on parle. Un problème de premier degré est tout simplement un problème dont la solution est obtenue grâce à l’utilisation d’équations de 1er degré

Une vague impression de tourner en rond ? pas du tout, le fait de transformer le problème en équation est une avancée significative car on a transformer un problème de la vie de tous les jours en un problème mathématique, une équation de 1er degré. Donc on peut utiliser des outils mathématiques pour la résoudre.

Alors la question que l’on peut se poser a présent est : qu’est ce qu’une équation de 1er degré ?

Problème et équation de 1er degré

Une équation est une égalité́ dans laquelle un nombre (souvent désigné par x) est inconnu

Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme : ax+b=c. avec 

  • a, b et c sont des nombres connus, et a est différent de 0 ;
  • et x est un nombre inconnu.

L’équation est dite de premier degré car la plus grande puissance de l’inconnue x est 1. Le contre-exemple ax2 + bx + c = d est une équation de degré 2 car la plus grande puissance de x est 2. 

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, c’est trouver la valeur de x qui vérifie l’égalité. Dans l’exemple x+1=5, la valeur de x qui vérifie l’égalité est x = 4. Si on remplace x par 4 dans l’égalité, celle-ci sera vérifiée, et ce n’est pas le cas pour x = 3 car l’égalité ne sera pas vérifiée dans ce cas là.

Alors, pour résoudre un problème de 1er degré, on effectue les 4 étapes suivantes :

  1. Définir l’inconnue et le désigner par une lettre (x par exemple).
  2. Mettre en équation l’énoncé du problème : écrire l’énoncé sous forme d’équation ax+b=c, avec a, b et c des nombre extrait de l’énoncé du problème et x est l’inconnue du problème
  3. Résoudre l’équation, trouver la valeur de x qui permet de vérifier l’égalité.
  4. Conclure à l’aide d’une phrase qui répond au problème

Alors, pour comprendre la démarche, on va essayer de l’appliquer sur un problème simple. Voici l’énoncé du problème :

3 amis entrent dans un restaurant et commandent 3 plats identiques, ils payent avec un billet de 50€ et le serveur leur rend 14€, ils se posent donc la question, combien coûte un plat ?

Pour appliquer la démarche précédente, on doit commencer par identifier l’inconnue, l’inconnue du problème est donc le prix d’un plat. Ensuite, on doit traduire le problème par une équation de 1er degré, cette étape est la plus importante car elle permet de modéliser le problème par une équation mathématique de la forme ax+b=c.

Il y a une astuce qui permet de faire cette étape sans se tromper, en fait dans l’énoncé on essaie de trouver un nombre qui peut être écrit comme une addition de 2 ou plusieurs entités, ce nombre total doit être de la même nature que l’inconnue. Dans l’exemple étudié, l’inconnu est un prix (de l’argent) le total doit être aussi de l’argent, et ça ne peut être que 50€. Maintenant, essayons d’écrire cette somme comme une addition de 2 ou plusieurs entités : 3 fois le prix d’un plat, plus 14€, la monnaie rendue par le serveur égale à 50€, ou encore : 3x+14=50

Et voilà le problème modélisé par une équation du premier degré

L’étape suivante est la résolution de l’équation, il faut trouver une valeur de x qui permet de vérifier l’égalité. L’égalité est vérifiée pour x=12. Et enfin la dernière étape est la conclusion, une simple réponse à la problématique : le prix d’un plat est 12€. 

Sans doute vous devez vous poser la question comment j’ai fait pour trouver 12, et bien il existe plusieurs méthode, la méthode la plus instinctive est la dichotomie. Tester plusieurs valeurs jusqu’à trouver la bonne valeur qui permet de vérifier l’égalité, c’est sans doute une méthode très long à faire et sans garantie de trouver une réponse. Heureusement qu’il existe une méthode plus simple qui permet de donner le résultat rapidement et sans faute, voici comment il faut procéder :

  • On identifie les valeurs de a, b et c
    • Dans notre exemple, a=3 ; b=14  et c=50
  • On soustrait b de chaque membre de l’équation
    • 3x+14-14=50-14 => 3x=36
  • Et enfin on divise par a chaque membre de l’équation
    • 3X/3 = 36/3 => x=12

En suivant à chaque fois cette démarche, on est sûr de résoudre correctement les quation du premier degré.

Comme je dis, c’est en faisant qu’on apprend, alors appliquez cette méthode de résolution sur des problèmes de premier degré, et n’hésitez pas de me faire part de vos remarques dans la zone de commentaire.

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