Voici une énigme mathématique que j’ai trouvé à la fois amusante et très constructive. Elle permet de travailler un peu la distributivité et le calcul littéral. C’est donc niveau collège 3^ème, 4éme. 

Énigme mathématique avec réponse

L’explication de ce tour de magie mathématique vous la trouverez un peu plus bas dans cet article. L’énoncé de cette énigme est le suivant :

• Choisissez un nombre, n’importe lequel
• Ajouter un 4 à ce nombre
• Ensuite multipliez le résultat par 2
• Puis retirer 6 du résultat obtenu
• Puis divisez le tout par 2
• Enfin retirez le nombre que vous avez choisi au départ du résultat.

Si vous avez bien fait le calcul, vous devriez trouver comme réponse à cette énigme mathématique … battement de tambour… le chiffre 1.

Solution de l’énigme mathématique

C’est bien évidemment n’est pas grâce un tour de magie mathématique qu’on a trouvé la solution de cette énigme. Pour expliquer cette énigme amusante on fait appel à certains cours de maths qu’on a vu au collège et au lycée. C’est entre autres la distributivité, le calcul littéral. Et calculs de fraction. Pour expliquer l’énigme, il faut d’abord comprendre l’expression littérale suivante :

Calcul littéral

En mathématique, on a souvent recours à mélanger des lettres avec des chiffres. Une expression littéraleest une expression mathématique qui contient des lettres qui désignent des nombres. Les expressions littérales sont beaucoup utilisées dans les résolutions d’équations.

Supposant que l’on souhaite calculer le périmètre d’un rectangle. La formule qui permet de calculer le périmètre est la suivante : additionner la largeur à la longueur puis multiplier le résultat par 2. 

On peut aussi écrire ceci de la manière suivante : 

2x(longueur + largeur).

Ou plus simplement encore : 2(L+l)

avec L : longueur et l : largeur.

Pour simplifier les écritures il est préférable d’utiliser des lettres qui désignes des valeurs. Il suffit donc de remplacer L par la longueur et l par la largeur puis faire le calcul pour calculer le périmètre du rectangle.

Donc pour calculer une expression littérale, il faut attribuer des valeurs aux lettres contenues dans l’expression littérale.

Le « x » dans l’expression littérale de l’énigme désigne le nombre choisi par le joueur. Donc x peut prendre n’importe quelle valeur. Et on peut vérifier qu’en remplaçant x par n’importe quelle valeur le résultat est toujours égal à 1.

La distributivité 

Si on revient sur l’expression littérale du calcul du périmètre du rectangle précédemment cité, et on désigne par la lettre P la valeur du périmètre. On a donc :

P = 2(L+l).

Juste pour mémoire, il y a une opération de multiplication entre 2 et l’expression entre parenthèses. On préfère éviter d’écrire le signe de la multiplication pour ne pas le confondre avec la lettre « x ». Il est tout à fait possible de développer cette expression sous la forme suivante :

P = 2L + 2l

La distributivité est le fait de distribuer le 2 sur l’expression entre parenthèses dans le but de retirer les parenthèses.

Calcul avec les fractions

Voici un petit rappel sur le calcul de fraction :

• Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, alors on additionne ou on soustrait leurs numérateurs et on conserve le dénominateur.
• Lorsque deux fractions n’ont pas le même dénominateur, on les rend d’abord au même dénominateur puis on additionne ou on soustrait leurs numérateurs.
• Pour multiplier deux fractions entre elles, on multiplie les dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux.
• En particulier, pour multiplier une fraction par un nombre entier naturel, on multiplie seulement le numérateur par ce nombre et on conserve le dénominateur.
• Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième fraction.

Dans l’expression de l’énigme mathématique, on trouve une division par 2. En appliquant les règles de calculs avec fraction citées ci-dessus on peut arriver facilement à l’ expression simplifiée suivante :

 x + 4 – 3 – x .

Ce qui donne finalement un résultat toujours égal à 1. (x-x = 0 ; et 4-3 = 1).

Une fois que nous avons compris la démarche pour résoudre ce tour de magie mathématique. On peut imaginer toute sorte d’autres énigmes mathématiques basées sur le même principe.